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今年的諾貝爾物理獎 給得...很"有趣"

雖然給獎理由寫的很廣泛 是給拓樸跟物質態的關係

但具體工作而言 其實是給了兩個不太一樣的方向

剛好這三個人都在這兩個方向有根本性開創性的貢獻

反而其他在這主題上呼聲也很高的人卻不一定有


以下是簡單的科普介紹

這兩個方向不太好短短講清楚 尤其我不太會用PTT畫圖



https://goo.gl/O9OUwi




1. 量子霍爾效應跟拓樸的關係

傳統的霍爾效應在一百多年前就被發現了 是現在普通物理等級的題材



在二十世紀八零年代時 發現原來不僅有這個電導率

而且這個電導率還是量子化的 是某個常數的一定整數倍數 這效應叫做量子霍爾效應

量子霍爾效應在八九零年代造就了兩次的諾貝爾獎

第一次當然是發現了這個量子霍爾效應

但在那個時候 只發現到電導率只會是某個常數的整數被 於是被稱作整數霍爾效應

第二次則是發現到 原來電導率可以不是整數倍 而可以是分數倍

這被稱作分數量子霍爾效應


量子霍爾效應的機制我就不在這裡詳細提及 畢竟這已經給過獎了

這已經是三十多年的題材了 網路很多科普資源 就如同名字 這是來自於量子效應

但有個地方值得一提 那就是整數量子霍爾效應某個方面比較單純些

只需要考慮在磁場下無交互作用的電子模型

就可以有為什麼那些整數值那麼特別的粗略的理解

而分數量子霍爾效應卻是個更困難的問題

因為造就分數效應的是來自於電子之間的交互作用力


Thouless跟Kosterliz(當然還有另外幾個人)在這上面的貢獻

就是他們提出一個簡單並且圖像的方式 來理解這些特別整數值

他們發現當你在能帶(動量)空間上計算電導率

那麼不僅會發現(在條件適當下)這些電導率的確是非零整數值

而且這些整數值 還會剛好對應於能帶空間的拓樸
(更嚴格的說法是定義在能帶空間的某個函數的拓樸...不過不想弄得太複雜)


於是球的拓樸跟甜甜圈的拓樸是不同的

這些整數值就是類似這樣地對映著能帶空間的拓樸結構

於是才會是整數 並且才這麼特別

整數量子霍爾效應一個不trivial的地方

是在於一般的導體都會有一些雜質 這些雜質會造成電流的浩散

於是很難想像電導率竟然堅定地會是一個常數的整數倍數 而不會被隨便破壞

但從這兩人的工作 我們可以有一個很淺白的解釋

那就是這些整數值都是對應著拓樸的性質 而拓樸的性質是不容易受到外在擾動影響的

就好像無論你怎麼扭曲球或甜甜圈 它們的拓樸(孔的個數)都是一樣的



而Haldane在這上面的貢獻 則是他發現其實不需要加入磁場也可以有整數量子霍爾效應





所以沒有給這兩人也不是完全沒有理由

儘管這兩人的工作跟現在實際尋找的材料更有關係些(因為拓樸絕緣體又有別的有趣性質)



2.拓樸跟物質相與相變的關係

所謂的相變 指的就是物質從不同的相之間的變化

一般傳統的物質相就好比是固態或者是液態

不同物質相之間不僅可以發生變化(就好像冰變成水)

發生相與相之間的變化時 我們可以觀測到很多物理量在相變點時的突然變化
(就好像冰變成水時會吸熱 或者比熱之類的有個不連續變化)

當然該怎麼清楚定義講明與分類甚麼叫做物質的"相" 其實是個大哉問

著名理論物理學家Landau等人對於物質的相有一套分類與判斷的方式



就足以寫下描述相變點附近很多物理性質的模型

這在暗示著物質的相變雖然千千萬萬種 但其實不同相變之間卻又不是那樣的不同

Landau很可惜沒有因為這工作拿下第二個諾貝爾獎

儘管根據這樣的原則應用在超導體相變 讓當初跟Landua一起工作的Ginzburg拿了獎

(題外話 相變其實是物理界一個深遠流長又奧秘的題材 不過在這裡很難三言兩語解釋
1982年Wilson的工作一部分就是因為對於相變現象的更進一步理解而得獎)



(直白但不精準的講 所謂有序相是指對稱程度較低的相)


因為任何微小的熱擾動在二維都足夠破壞任何有序相

這意思就是:大於絕對0度都不該有(連續)相變

Thouless跟Kosterlitz卻發現了這種說法是不完全的

他們在一個描述古典磁系的二維模型中(XY model)

發現了拓樸缺陷會導致一個在有限非零溫時的相變化


直觀上來說 所謂的XY model可以想像成

平面上每個晶格格點都有個向量 對應著這個點的磁場方向
(可以參考上面連結 諾貝爾委員會得獎說明的圖1或圖3)

而每個磁場方向只能在同個平面 不同格點之間的磁場會有交互作用力

原則上與直覺上 應該會在溫度較低時有某個有序相
(可能磁場的排列會偏好一個方向 或者某種特定分布)

並在溫度逐漸變高時 熱擾動增加 有序相被迫壞 磁場方向不再有特別的分布

而這兩個相變化點時可以通過一些物理量的變化查知

但在二維時 實際上在任何高過絕對0度時有序相都是不存在的


但Thouless跟Kosterlitz卻發現事實上還是有"某種相變點"的存在

你還是會發現一些物理量在某個有限溫度時 發生某些不一致的變化

但來源不是因為磁場排列的對稱性發生了改變

而是磁場排列的拓樸發生了改變

各位可以把二維中的磁場排量方向 想像成二維流體的流動方向

而原則上應該允許一些拓樸缺陷的存在 就例如流體的流動可以有漩渦(vortex)狀一樣

而這些漩渦就是對應著磁場排列的拓樸缺陷

在對稱性描述的模型中 沒法完全抓到這些缺陷的影響

於是 雖然對稱性不同的相變不會發生在非0溫

但事實上這些渦漩是可以造就在某個非0度時物理量不一致變化(類似相變)

在溫度低的時候 這些渦漩都被格點磁場間的交互作用bound住 於是不會有渦漩

但在高溫的時候 渦漩之間再也沒有被bound住 於是可以生成

於是就類似於傳統的相變 只是現在兩個"相"之間的差異現在是在於拓樸的不同
(當然 嚴格上跟傳統相變還是有些不同 例如correlation length...
實際上現在這個低溫相還是不能算是"有序" 但correlation length卻又跟高溫相不同)





而Haldane在類似這條路的貢獻

則是他發現了在一維的量子磁性模型(Heisenberg model)

類似的拓樸缺陷也會有很重要的後果


剛剛講到的 二維以下的模型都不該有非0溫相變 這個理論對量子或古典都是對的

但一般的量子模型跟古典模型不同

那就是d維度的量子模型 受到量子效應的關係 實際上的維度會是d+1

所以我們通常用d+1維來稱呼這些d維量子模型
(嚴格上維度的實際影響經常不會完全是d+1...而是d加某個正數目)

所以一維的量子磁性模型大概對應1+1維 但卻還是沒有大過2維 於是不該有非0溫相變




他嘗試發展一個半古典模型來近似傳統量子磁性模型(Heisenberg model)

他發現要使得這樣半古典模型能研究完整的量子磁性模型 那就必須得多加入一個項

而這個項剛好起源於磁場分布的拓樸(見連結的圖7)

Haldane會認為必須有這個項的一個簡單原因是

因為那個半古典模型 高能物理學家其實早已經研究過了

在其中量子效應會產生一個質量項 在凝態物理裡對應到就是能帶結構裡的非0能隙

於是如果這模型是對的 1+1維應該不管怎樣都會有能隙

但實驗上(或其他理論)在某些自旋半整數的磁性模型時卻不是這樣

於是Haldane引入了這個項並觀察到 並在之後嚴格證明了

對於自旋的不同 這個項應該會造就完全不同的後果

而這些不同後果如今已經是實驗驗證的了
(值得一提的是這個猜想的嚴格證明 使用到了弦理論大師Witten的著名數學技術)



最後提一下 Haldane還有另一個相關的工作 但卻是連結稿沒有特別提到的

二維的量子模型對應2+1維的模型 其實是有非0溫相變的

但Haldane在1+1維所發現的拓樸項在2+1維卻會被抵銷

然而他卻另外發現另一種拓樸缺陷 是可以導致一些非常特別的物質態產生





所以綜觀這三個人的研究工作

都讓物理學家對於甚麼叫做物質相 以及物質相變化 有了新的認識與理解

於是乎 這次的諾貝爾物理獎頒給了他們







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