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※ 引述《yarnball (毛線球)》之銘言：
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: 這樣分類不是沒有意義的 可以僅僅就只憑著這種對稱性的不同
: 就足以寫下描述相變點附近很多物理性質的模型
: 這在暗示著物質的相變雖然千千萬萬種 但其實不同相變之間卻又不是那樣的不同
: Landau很可惜沒有因為這工作拿下第二個諾貝爾獎
: 儘管根據這樣的原則應用在超導體相變 讓當初跟Landua一起工作的Ginzburg拿了獎
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: (題外話 相變其實是物理界一個深遠流長又奧秘的題材 不過在這裡很難三言兩語解釋
: 1982年Wilson的工作一部分就是因為對於相變現象的更進一步理解而得獎)
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: 但是 對這種根據對稱性不同而產生的傳統相變
: 會預測在二維的時任何有限溫度都不會有有序相
: (直白但不精準的講 所謂有序相是指對稱程度較低的相)
: 因為任何微小的熱擾動在二維都足夠破壞任何有序相
: 這意思就是:大於絕對0度都不該有(連續)相變
: Thouless跟Kosterlitz卻發現了這種說法是不完全的
: 他們在一個描述古典磁系的二維模型中(XY model)
: 發現了拓樸缺陷會導致一個在有限非零溫時的相變化
:

因為我數學很爛，物理又不太好，
只能嘗試解釋一下Kosterlitz Thouless 相變和XY 模型。

先從XY model開始講起，
想像有一大群人列隊在操場上，
他們雖然排得整齊，可是卻可以面向任意的方向。
http://imgur.com/4TfVRP5
這就是XY model(晶格上的2D單位向量)


這裡有兩個機制會影響他們的行為
1. 群眾壓力 (交互作用)
"別人面向東邊耶  我是不是也該面向東邊"
http://imgur.com/bvjoLne

2. 追求自由 (熱擾動)
"林北就是想亂轉啦"
http://imgur.com/NL5Z6up

那所謂二維XY模型  和三維XY模型又是怎麼回事呢
簡單來說，一個是操場，一個有不同樓層
所以二維只有前後左右有站人，三維則是上下前後左右都有站人
http://imgur.com/hXYaQWj


你可以發現，三維受到群眾壓力的影響一定比較大
所以當溫度低到一個地步時(追求自由的傾向低)，(臨界溫度)
很神奇的，大部分的人都面向差不多的方向，無論總人數多少。

這就是Landau描述的相變化，也就是自發性對稱破壞。

為什麼叫對稱破壞？
原本大家的方向是平均散布的，現在都面同一邊。

為什麼自發性？
沒有人發號施令叫大家要看哪邊，也沒人發五百請大家看哪邊。
大家都是自發的行動喔。(英文是sponteneous)


那二維呢？

根據Mermin–Wagner theorem，
二維這個結構太弱了，只要人們有一點點自由意志(不是絕對零度)，
就不會全部的人面差不多的方向。
當然一區的人可能方向相近，但是越來越遠之後人們的方向又不一樣了。

所以在Landau的理論架構下，
二維XY模型，一直都亂亂的，沒有相變，沒有自發性對稱破壞。
(在非絕對零度的時候)


Thouless跟Kosterlitz引入拓樸的概念，發現上述理論是不完整的。
因為人們會排成具有拓樸量的圖案。
http://images.slideplayer.com/31/9710215/slides/slide_2.jpg
而且會成對出現。
(Ref:http://slideplayer.com/slide/9710215/)

什麼叫有拓樸量的圖案，例如四個人面面相對，四人的方向繞成一圈之類的

為什麼成對出現其實很好想，
你用手去轉兩端固定的帶子或橡皮筋，
一定有兩個翻轉點
http://imgur.com/gNgAtQ3
向右一個翻了正180 一個翻了負 180

總之二維上會出現成對的拓樸結構(vortex)，
他們之間又會有交互作用。
這樣的東西會造成一種新的相變，叫KT相變，
而這也是在特定溫度才會發生的(KT溫度)。


基本上這就是Thouless跟Kosterlitz對於相變理論的主要貢獻。


那回到大家面不面向同一邊的問題，
這有讓所有人轉向同一邊嗎？
答案是不能算有。

但也和原本Mermin-Wagner理論不同。

測量兩個人方向相不相似的量叫關聯性，
在Mermin-Wagner理論裡，關聯性隨距離指數遞減。
然而，在KT相變裡，當溫度小於KT溫度時，
關聯性與距離是類似反比的形式。

大概這樣，講錯的地方還請多多指教。

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