作者 daze (一期一會)標題 [心得] 一個估計提領率的近似公式時間 Sun Sep 10 20:30:48 2023
當在討論有多少錢才能退休時， 4% rule 常被提及
不過， 4% rule 是基於 Trinity study
基於美國股債的歷史回報率與30年的固定提領期間
所提出的一個 rule of thumb
如果你的預期提領期間，或對未來報酬率的預期，與 Trinity study 不同
有沒有方法可以估計這個提領率呢?
Milevsky 基於隨機分析(stochastic calculus)提出了一個計算提領率的近似公式:
μ:年化實質報酬率 σ:年化標準差 p:可接受的失敗率 T:中位數餘命
λ = ln(2)/T
α = (2μ+4λ)/(σ^2 + λ)-1
β = (σ^2 + λ)/2
提領率 1/W = GAMMA.INV(p, α, β)
取倒數則得財富倍數 W
GAMMA.INV 是 GAMMA函數的反函數，Excel有提供這個函式，不用自己算。
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帶入一些數字作為實例:
μ = 6% (目前美國抗通膨債報酬率約 2%，Equity Risk Premium 假設為 4%)
σ = 17% (S&P500 年化標準差約 17%)
T = 30 (中位數餘命假設為30年)
p = 10% (假設可接受 10% 失敗率)
λ = ln(2)/30 = 0.0231
α = 3.08
β = 0.0260
提領率 GAMMA.INV( 10%, 3.08, 0.026) = 2.99%
財富倍數 W = 1/(2.99%) = 33.41
按此估計，中位數餘命30年的一個退休者，如將1000萬元全數投入股票
每年提領通膨調整後的 29.9萬，約有 10% 機會在死前花光財產
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如果改用 50% 股票比重的 portfolio
令 μ = 4% ，σ = 8.5%，T = 30，p = 10%
提領率則可上升到 3.35%
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也可以反過來，根據提領率估計失敗率
Excel公式是 GAMMA.DIST(1/W, α,β, TRUE)
以 4% 提領率來說，如果沿用以上50%股票比重的設定
失敗率的估計是 GAMMA.DIST( 4%, 4.68, 0.0152, TRUE) = 16.47%
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Reference:
Milevsky, Moshe & Robinson, Chris. (2005). A Sustainable Spending Rate
without Simulation. Financial Analysts Journal - FINANC ANAL J. 61. 89-100.
10.2469/faj.v61.n6.2776.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.254.212.231 (臺灣)
※ 作者: daze 2023-09-10 20:30:48
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謝謝。已更正。
※ 編輯: daze (111.254.212.231 臺灣), 09/10/2023 22:21:18
※ 編輯: daze (111.254.212.231 臺灣), 09/10/2023 22:55:18
→ goldenbee: 請問d大用蒙地卡羅模擬評估提領率是否就不受限
Trinity study了？例如Portfolio Visualizer3F 09/11 09:06
蒙地卡羅法是不受限於Trinity study，不過蒙地卡羅法有很多細節可以調整
根據實作方式不同，請自行考慮結果的可信度
Portfolio Visualizer 預設是用Historical return
但也有Parameterized return的選項
跑出來的結果不盡相同
且即使都是用 Historical return
用 simple random sampling 或 block sampling 等細節的選擇
也都可能影響結果
另外，Portfolio Visualizer的蒙地卡羅法是用固定提領期間
如果你知道何時會死，退休規劃就容易多了
Milevsky的這個近似公式則是用stochastic死亡率來做估計
蒙地卡羅法也是可以實作stochastic死亡率
只是 Portfolio Visualizer 在實作時沒有提供這個選項
細節設定合理的話，蒙地卡羅法應該能比近似公式提供更多資訊
只是可以調整的細節有很多，也沒那麼容易就是了
→ daze: Milevsky的公式，在低提領率時會稍微高估失敗率，在高提領率時則會低估失敗率。但在常用的2~4%提領率範圍內，失敗率大概頂多高估1~2%左右，差別並不會很明顯。5F 09/11 10:09
※ 編輯: daze (60.249.225.18 臺灣), 09/11/2023 11:20:05
推 seanidiot: 這似乎也可以說明資產配置(降低sigma)的重要性9F 09/11 17:33
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