作者 CuLiZn5566 (同理心5566)標題 Re: [問卦] 自然數之和=-12分之1 是詭辯還是悖論時間 Sat Aug 26 01:44:09 2023
三個數列
S0 = 1+2+3+4+5+6+7+.....
S1 = 1-1+1-1+1-1+1-.....
S2 = 1-2+3-4+5-6+7-.....
所以第一個問題是
S1等於多少
這其實要看數列到甚麼時候停止
停在偶數就是0 停在奇數就是1
但因為就無窮的加下去
所以大家就會說用1/2這個數字來取代
要證明也很簡單
S1=1-1+1-1+1+....
S1= 1-1+1-1+1-....
2S1 = 1
S1=1/2
但這個並不是S1這個數列加總等於1/2
而是在根本不知道甚麼時候停止的時候
大家方便取個平均
因為這個數列實際上只會等於1或是0
不可能等於1/2
所有的問題就從這個地方開始
用類似的方法
我們能算出S2的總和
S2 = 1-2+3-4+5-....
S2 = 1-2+3-4+....
所以2S2 = 1-1+1-1+1+....
但是我們知道S1 = 1-1+1-1+1-1+1 "等於"1/2
所以2S2 = S1 = 1/2
S2 = 1/4
這時候回到一開始要算的目標S0
S0 = 1+2+3+4+5+.....
S0-S2 = 0+4+0+8+0+12+....
= 4(1+2+3+4+5+.....) = 4S0
所以-3S0 = S2
問題是S2 = 1/4
所以S0 = -1/12
但一開始的問題就是
為啥S1 = 1/2
畢竟S1就只會是0或1
所以你如果認為"="就是左邊就是全等於右邊
而不是左邊與右邊有連結
那麼後面才會推出S0 = -1/2
這種概念有點像是小學在討論加數與被加數
例如4+3 = 3+4 或是 3*4 = 4*3
因為4+3就不全等於3+4
畢竟你先3後4與先4後3
過程不一樣 一樣的只有結果
所以左邊就不可能全等於右邊
但如果你要用全等這個概念來理解"="
那才會有後面很奇怪的結果
※ 引述《superRKO (挖洗RKO)》之銘言：
: 乳題
: 1+2+3+….無窮=-12分之一
: 阿問題是1+2就已經>-12分之1了，後面全加怎麼可能等於
: 還有啥混亂源頭，換成1-1+1-1+1…..=2分之1，根本扯蛋，
: 答案只會是0 or 1還跟你平均，而且無窮級數沒有收束
: 既然1-1+1這個不合理，那後面各種化簡、分解也沒意義啊
: 怎麼會導出=-12分之1
: 這是詭辯還是悖論？ 還是這是物理學家得出的最佳解？
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※ 作者: CuLiZn5566 2023-08-26 01:44:09
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