作者 yesjimmy62 (~凰之翼~)標題 Re: [心得] 最差的30年rolling return，到底有多差?時間 Wed Oct 30 07:48:45 2024
※ 引述《daze (一期一會)》之銘言：
: 最近看到了些談 30-year rolling return 的文章
: 突然想到，最差的30年rolling return，到底有多差?
: ===
: 考慮某投資，假設其年報酬率為獨立同分佈，且服從對數常態分佈。
: (這裡假設了分佈的型態，但並不對μ跟σ做估計。)
: 問: 該投資未來三十年的累積報酬率，低於過去一百年間的 30-year rolling return
: 之最小值的機率有多少?
: 這個問題也許有解析解，但我數學不太好，就直接用蒙地卡羅法模擬看看。
: 我模擬的結果是大約 12%。
: ===
: 這裡的前提，「獨立同分佈+對數常態分佈」是非常強的假設
: 這個模擬的結果，不見得能適用於現實
: 但「過去100年的 30-year rolling return」雖然看似足足有71組數字
: 對於從中得到的一些觀察
: 或許可以再思考看看要給予多少信心
小弟剛好對這頗有興趣
以下是一點拙見：
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1. 為什麼股價是對數常態，而不是常態分佈？
常態分佈的數值本身沒有上下限
可以說，負無限和正無限都有機率發生(當然機率很小很小)
但這對股價來說是不對的，因為股價都是正值、最小值就是0
用對數常態來描述股價就能解決這個問題
對數常態另一個重要理由就是數學好描述
實際上，真實股價比對數常態分佈有更多極值(大漲大跌)出現
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2. 報酬是常態分布嗎？
這其實對了一半
在股價是對數常態分佈的假設下(其實誰是因誰是果有點難說)
對報酬 x 而言
正確解答是他的對數 ln(1+x) 是常態分布
但當x不太大的時候，ln(1+x) 近似 x
所以報酬x不大的話(1%、2%之類的)，可以說報酬近似於常態分布
但報酬很大的時候(-50%)，這個近似就不成立、報酬就不是常態分布
這也可以從報酬有最小值(-100%)看出來報酬不完全是常態分布
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3. 回到原po的問題
"下一個 30-year rolling return 比前100年的最差的30-year rolling return 還差的機率是多少"
首先，前100年的最差30-year rolling return
我的理解是
前100年當中、任一個連續30年的return
因此如原po所說，有71個不同的連續30年(1-30年，一直到71-100)
如原po所說，這個解析解似乎相當困難
但有個方便粗略估計的方法
就是這100年中，有至少3個不重疊、也就是互相獨立的30年
這問題可以簡化成像是，擲完3次骰子，再擲一次會比前3次都小的機率
(骰子可能不是很好的例子，因為會有相同數值的時候...)
那這個的解是25% (並且這與是什麼分佈完全無關)
這當然是個會高估的粗估，因為還少算過去100年裡的一個10年
然後還有其他71-3=68個有重疊、不完全獨立的30年
如原po所說，更準確的解大概就只能靠蒙地卡羅了
我也得到跟原po一樣的數字、11.9 +/- 0.1 %
與mu和sigma無關
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以上一點淺見
感謝daze大分享如此有趣的問題 :)
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※ 作者: yesjimmy62 2024-10-30 07:48:45
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※ 同主題文章:
Re: [心得] 最差的30年rolling return，到底有多差?
10-30 07:48 yesjimmy62
推 daze: Right，其實是(報酬率+1)服從對數常態分佈。我習焉而不察，漏掉了那個+12F 10/30 08:56
推 elven: 太強了5F 10/30 11:19
推 icelaw: 太深究沒有意義，常態分佈本來就有離散性，
極端情況還是有可能發生，所以才要降低預期報酬來做資產配置來 ，做為一種保險手段
不然大家都直接上槓桿all in上去就好了，什麼都不用研究了6F 10/30 13:44
推 staytuned74: 是與參數無關不是與分佈無關吧？不然怎跑蒙地卡羅？同是lognorm得到一樣估計機率，換norm得到另一估機率還是我又誤解意思了？11F 10/30 13:50
推 daze: 那個粗略估計方法得到的25%的上界，與分佈無關。至於蒙地卡羅得出的11.9%則需要指定分佈的形式。14F 10/30 15:06
推 staytuned74: 我可能沒搞清楚假設前提，可否寫一下上界解的詳盡數學推導25%怎麼來的
簡化成骰子還是要假設uniform16F 10/30 15:38
推 aldosterone: 對任意獨立同分佈的四個樣本，最小值出現在最後一個樣本的機率為 1/4；不知否表達這個意思
連續的；避免原 PO 所謂重複的情況19F 10/30 17:26
推 daze: 我試著改用對數Student's T分佈做蒙地卡羅，結果是自由度越低，機率越高。自由度=1，約16.9%。自由度=2，約13.7%。
直覺上這似乎很合理，自由度低，tail比較肥。但其他tail更肥的分佈也會有這個現象嗎?22F 10/30 19:18
推 weimr: 謝謝分享。26F 10/30 21:11
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