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發信人: dick51207.bbs@ptt.cc (dick51207.bbs@ptt.cc) 看板: SuperTree
標  題: Re: [問卦] 有沒有黃金分割的八卦?
發信站: 2012/06/20 Wed 02:03:37

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※ 引述《lovebanana01 (香蕉哥)》之銘言：
: 不是解師傅的黃金分割燒賣
: 是達文西黃金分割
: 就是大家所熟知的 1.1.2.3.5.8.13.......
: 又稱作費氏數列
: 有沒有神麼八卦?

疑?

一眼看上去 費氏數列跟黃金分割的關係好像不是很明顯

到底關係在哪邊呢?

我們先從黃金分割開始

如果我們有一個線段

我們將他切成大段A跟小段B

其中 原長跟A的比 如果跟A和B的比一樣的話 我們叫他作黃金分割


├───────────────┼─────────┤

╰───────────────╯╰────────╯
                 A                          B

 A+B      A
----- = -----
  A       B

然後移項 解二次方程=>
 2     2
A -AB-B =0
   1
A=---(1±√5)B 去掉負根
   2

所以

 A     1
--- = ---(1+√5) ~1.618  而這就是我們說的黃金比例
 B     2

==========================================================

費氏數列 1,1,2,3,5,8,13,...

其中任意兩項是前兩項的和

我們可以寫成遞迴式 A   =A   +A
                    n+2  n+1  n

如果寫成矩陣的樣子 我們可以更方便的去分析

把他寫成一個二階矩陣

[A   ]   [  1    1  ][ A  ]
[ n+1]   [          ][  n ]
[    ] = [          ][    ]
[A   ]   [  1    0  ][A   ]
[ n  ]   [          ][ n-1]

為了方便 我們定義A =0 A =1 A =1 A =2 .....
                  0    1    2    3

然後 可以發現

                     n
[A   ]   [  1    1  ] [ A  ]
[ n+1]   [          ] [  1 ]
[    ] = [          ] [    ]
[A   ]   [  1    0  ] [ A  ]
[ n  ]   [          ] [  0 ]
         ╰────╯
              B

現在我們來看看這一個矩陣B

我們對這矩陣作分解 把它分解成像這樣的形式
       -1
B=U X U

其中X是一個對角矩陣 也就是 他只有對角線有元素

這將會帶給我們一個好處
           n      -1     -1     -1        -1
你可以得到B =U X U  U X U  U X U  ...U X U
                 ^^^^   ^^^^   ^    ^^
                 =I      =I    =I   =I

                     -1   n -1
            =UXX...XU  =UX U

先對B求特徵值

|1-λ  1|        2
|       |=0 => λ -λ-1=0
|1   -λ|

=>     1                 1               1
   λ=---(1±√5) 令λ =---(1+√5)  λ =---(1-√5)
       2              1  2            2  2



[1    1]   [λ  λ ][λ    0 ][ 1 -λ  ]
[      ]   [ 1   2 ][  1     ][      2 ] 1
[      ] = [       ][    λ  ][    λ  ]----
[1    0]   [ 1   1 ][ 0    2 ][-1    1 ]√5

n次方後
        n                     n
[1    1]   [λ  λ ][λ    0 ] [ 1 -λ  ]
[      ]   [ 1   2 ][  1     ] [      2 ] 1
[      ] = [       ][    λ  ] [    λ  ]----
[1    0]   [ 1   1 ][ 0    2 ] [-1    1 ]√5


然後

                     n
[A   ]   [  1    1  ] [  1 ]
[ n+1]   [          ] [    ]
[    ] = [          ] [    ]
[A   ]   [  1    0  ] [  0 ]
[ n  ]   [          ] [    ]

                         n
  1   [λ  λ ][λ    0 ] [ 1 -λ  ][1]
=---  [ 1   2 ][  1     ] [      2 ][ ]
 √5  [       ][    λ  ] [    λ  ][ ]
      [ 1   1 ][ 0    2 ] [-1    1 ][0]


                  n
  1   [λ  λ ][λ   0   ] [1]
=---  [ 1   2 ][  1   n  ] [   ]
 √5  [       ][    λ   ] [   ]
      [ 1   1 ][ 0    2  ] [-1 ]


                  n
  1   [λ  λ ][λ    ]
=---  [ 1   2 ][  1   ]
 √5  [       ][   n  ]
      [ 1   1 ][-λ   ]
      [       ][   2  ]

        n+1  n+1
      [λ  -λ ]
   1  [  1    2]
= --- [  n    n]
  √5 [λ  -λ ]
      [  1    2]

       1     n    n    1    1         n   1         n
=>A = ---[(λ  -λ )]=---{[---(1+√5)]- [---(1-√5)] }
   n  √5   1    2    √5   2             2

在n很大的時候

因為 |λ|>|λ |
       1    2

所以 A
      n+1
    ----- 會趨近於 λ 也就是黃金比例
     A               1
      n



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.68.28
※ 編輯: ll35566         來自: 140.113.68.28        (06/20 01:38)
我喜歡麻煩的作法(其實也沒有很麻煩 打字比較麻煩)
※ 編輯: ll35566         來自: 140.113.68.28        (06/20 01:41)
我比較會幾何 線代都忘光了Q.Q
※ 編輯: ll35566         來自: 140.113.68.28        (06/20 01:45)
小惠子要睡了喔!
※ 編輯: ll35566         來自: 140.113.68.28        (06/20 01:48)
n次方 已修正
※ 編輯: ll35566         來自: 140.113.68.28        (06/20 02:00)

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