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※ 引述《gm023347599 (22K工讀生)》之銘言：
: 安安
: 微積分
: 首先就要學生了解極限的概念
: 說什麼極限就是無限逼近
: 誰知道無限是什麼啊
: 又不是一個明確的數字
: 他媽的老師也不知道無限是什麼
: 只會要學生去想像
: 無限減掉無限竟然會是一個數字
: 也太唬爛了吧
: 微積分是不是都在唬爛啊?
: 有沒有八卦



那就是愛爾蘭的一位主教George Berkeley。


以一個簡單的函數y=f(x)=x^2對x微分來說，

這件事可以視為求f在兩點(x,f(x))與(x+dx,f(x+dx))上的斜率

根據國中數學這件事應該是

       f(x+dx)-f(x)
f'(x)=--------------
            dx

       (x+dx)^2-x^2
     =--------------
            dx

        2xdx+dx^2
     =-------------- ...(1)
            dx

此時我們把dx視為是一個很小，但不等於零的數字，

所以我們將分子分母同除以dx，可以得到

f'(x)=2x+dx ...(2)

而dx實在是太小了，所以我們可以將他忽略，得到

f'(x)=2x

所以x^2的微分就是2x。




這位主教還戲稱dx是ghosts of departed quantities。


事實上當時還真的沒有人有辦法解答這個質疑，讓微積分的發展蒙上了一層陰影。

不過微積分在物理學以及各項科學中實在太有用了，

所以許多微積分的技巧與應用仍然蓬勃發展起來。


這件事要到整整一個世紀後的法國數學家柯西才獲得解決。

用現代數學來說明，就是用極限繞過無窮小量。

以下是每個理工科的大一微積分都會學到的極限定義

lim_(x→a) f(x) = L

<=>

for any ε>0, there exists δ>0 such that |f(x)-L|<ε whenever 0<|x-a|<δ

意思是

如果你隨便給一個f(x)對某一個值L的誤差範圍ε，

我都可以找到足夠靠近a的數字，

讓我的函數值與L的差坐落在你要的誤差範圍之內。



這個讓人頭昏腦脹的定義有兩大重點，


第一是它明確指出極限是一種動態過程，利用函數值與極限值的誤差要求來定義極限，

而不是企圖在無窮小量的實數除法上作文章。




所以當我們在說f(x)對x微分時，

數學上我們只是說某個除法式的極限，就不用管什麼無窮大無窮小啦！

大概是這樣。









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